有限元方法法的基本概念是用较简单的问题代替复杂问题后再求解。有限元法的基本思想是先化整为零﹑再积零为整，也就是把一个连续体分割成有限个单元；即把一个结构看成由若干通过节点相连的单元组成的整体，先进行单元分析，然后再把这些单元组合起来代表原来的结构进行整体分析。

 1、有限元方法的国内外研究现状及应用实例

 “有限单元法”这一名称是克拉夫（Clough）在1960年首先引用的。它是随着电子计算机的发展而迅速发展起来的一种现代计算方法。它虽然是50年代首先在连续体力学领域—飞机结构静、动态特性分析中应用过的一种有效的数值分析方法，但是，由于它所依据理论的普遍性，已经能够成功地用来求解其它工程领域中的许多问题。随后很快广泛的应用于求应力场、位移场、电磁场、温度场、流体场等连续性问题。涉及了很多的工程学科，如机械设计、声学、电磁学、岩土力学、流体力学等。在机械工程领域，有限元被广泛的应用于机构、振动和传热问题上。

 （1）有限元的发展趋势

 纵观当今国际上有限元软件的发展情况，可看出有限元软件的一些发展趋势：与CAD软件的无缝集成；更为强大的网格处理能力；由求解线性问题发展到求解非线性问题；由单一结构场求解发展到耦合场问题的求解；程序面向用户开放性等。

 （2）有限元的应用实例

 ①地铁振动预测的周期性有限元—边界元耦合模型

 Jones利用有限元—无限元耦合二维模型计算了铁路隧道内及周围土体的动力响应。针对地铁列车运行引起的隧道结构和自由场中的振动响应问题，提出了一个在频率—波数域内的三维周期性有限元—边界元耦合的数值模型，此模型中隧道结构采用有限元法计算，自由场采用边界元法模拟。此模型采用Floquet变换，利用隧道和自由场在隧道轴线方向上的周期性，把无限长的隧道及自由场的网格划分限制在一个基本元内，这样使动力学数值计算的效率大大提高。利用此模型计算了在隧道底板上施加固定单位谐振荷载情况下隧道—自由场相互作用系统的动力响应，结果表明此模型可应用于地铁列车运行引起的隧道和自由场中的动力响应预测。

 ②永磁直线同步电机解析分析及有限元验证

 对永磁直线同步电动机具有边端效应、气隙不均匀、气隙磁场分布复杂、永久磁极几何尺寸难以确定的问题，给出了单段永磁直线同步电动机气隙磁场的二维解析分析，讨论了电机的各主要尺寸参数对气隙磁场和性能的影响，提出了永久磁极的设计原则和计算公式，分析了考虑饱和影响、计及边端效应时分段式永磁直线同步电动机的非线性、不对称、变化的自感和互感参数的解析计算方法，得到了定子绕组自感和互感系数随动子位置不同时的变化曲线。有限元数值计算结果表明，导出的分段式永磁直线同步电动机永久磁极的设计计算公式以及电机变电感参数解析计算公式是适用的。

 ③基于响应面的桥梁有限元模型修正

 采用试验设计和回归分析方法，以显式的响应面模型逼近特征量与设计参数间复杂的隐式函数关系，得到简化的结构模型(Meta-model)，给出有限元模型修正过程。针对复杂的土木工程结构，讨论样本选择、修正参数选取以及如何从众多因素中较合理地建立结构的响应面模型。用数值模拟算例和六跨连续梁桥环境振动试验结果，实现基于响应面模型的土木工程结构有限元模型修正，并与传统的基于灵敏度方法直接对结构有限元模型修正结果进行比较。结果表明，基于响应面方法的有限元模型修正和验证，能显着提高修正的效率，修正过程计算简洁、迭代收敛快，避开每次迭代都需要进行有限元计算，易于工程实际应用。

 2、有限元方法的分析过程

 （1）有限元分析的三个阶段

 前处理阶段：将整体结构或其一部分简化为理想的数学力学模型，用离散化的单元代替连续实体结构或求解区域；主要包括：定义分析的类型、添加材料属性、添加载荷和约束、网格的划分等……

 分析求解阶段：运用有限元法对结构离散模型进行分析计算，这个过程是由计算机来完成的。

 后处理阶段：对计算结果进行分析、整理和归纳。

 （2）有限元分析的七个步骤

 ①结构力学模型的简化

 从实际的问题中抽象出力学模型，对实际问题的边界条件、约束条件和外载荷条件进行简化。抽象简化出来的力学模型应该能尽可能的反映真实的实际问题，合理的模型既能保证计算结构的精度，又不会带来结构上的过分复杂（模型的建立在有限元分析的过程中是一个比较重要的阶段）。

 ②结构的离散化

 所谓结构的离散化就是将连续的结构体划分为有限个单元体以代替原来的结构。这个过程也就是网格的划分，网格划分是建立有限元模型的中心工作，模型的合理性很大程度上可以通过所划分的网格形式反映出来。

 ③位移模式的选择

 为了能用节点位移表示单元体的位移、应变和应力，在分析时就要对单元体位移的分布进行一定的假设，假设位移是坐标的某种简单函数，这个函数就是位移模式或者位移函数。

 一般情况下选择多项式作为位移模式，因为所有的光滑函数的局部都可以用多项式逼近。

 ④分析单元的力学特性

 单元特性的分析包括以下三部分的内容：

 a、利用几何方程，用位移模式导出用节点位移表示单元应变的关系式。

 b、利用物理方程，由应变表达式导出用节点位移表示单元应力的关系式。

 c、利用虚功原理建立作用于单元上的节点力和节点位移之间的关系式，也就是单元的刚度方程。

 ⑤计算等效节点力

 弹性体经过离散后，假定力是通过节点在单元体之间进行传递的。但是，实际的连续体，力是通过单元的公共边界进行传递的。因此，作用在单元上的各种力就需要等效移植到节点上去，也就是用等效的节点力来代替单元上的力。移植的方法是按照虚功等效原则进行的。

 ⑥集合所有单元的刚度方程，建立这个结构的平衡方程

 这个过程包括两个方面的内容：一是由各个单元的刚度矩阵集合成整个物体的整体刚度矩阵；二是将作用于各单元的等效节点力列阵合成总的载荷列阵。集合所依据的原则是要求相邻的单元在公共节点处的位移相等。

 ⑦求解未知节点的位移和计算单元应力

 由集合起来的平衡方程组，解出未知位移。在线弹性平衡问题中，可以根据方程组的具体特点选择合适的计算方法。对于非线性问题，则通过一系列的步骤，并逐步修正刚度矩阵或载荷矩阵，才能获得解答。最后，利用物理方程和求出的节点位移，计算各单元的应力，并加以整理得出所要的结果。

 （3）有限元软件的分析过程

 用Solidworks软件中的simulation插件可以解决一些简单的有限元问题。

 ①数学模型的建立

 从实际问题中抽象出数学模型，是一个长、宽、高分别为1000mm、100mm、50mm的一个长方体。利用Solidworks软件进行实体建模，选择材料为合金钢，如下图所示：

 接下来，我们添加静态算例，因为它所承受的载荷是静态的。

 ②添加约束和载荷

 将实体的左端面固定，并且在最右端添加一个竖直向下的5000N的力。如下图所示：

 ③将实体进行网格划分

 网格划分后的结果如下：

 ④运行求解

应力截图

位移截图

应变截图

 ⑤结果分析

 对结果进行分析可知，与实际的工程应用实例结果一致。

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