有限元软件Abaqus对小球下落问题的分析，研究的是冲击方面的动力分析。冲击，顾名思义是一个结构体撞击另一个结构体的动力问题，其研究的是二物体碰撞时由于外力急速变化引起的结构物的短暂响应，控制方程和一般动力问题没有什么不同，但是在碰撞的过程中有应力波传播、局部区域的弹塑性变形、短时响应以及局部破坏等现象。如果采用数值分析方法进行求解，则要使用较小的单元网格分割，对时间间隔△T也需要取得很小。对于工程中三维问题计算费用相当大。为了应对这方面的问题，有限元科技采用CAE软件辅助的办法减小计算成本以及加快计算速度。

 按照求解方法，ABAQUS允许在瞬态动力分析中包括各种类型的非线性——大变形、接触、塑性等。常用的求解方法如图2—1所示。

图2—1求解方法

 其中缩减矩阵和完整矩阵的主要区别是：

 缩减矩阵：

 用于快速求解。

 根据主自由度写出[K]、[C]、[M]等矩阵，主自由度是完全自由度的子集。

 缩减的[K]是精确的，但缩减的[C]和[M]是近似的。此外，还有其他一些缺陷。

 完整矩阵：

 不进行缩减，采用完整的[K]、[C]和[M]矩阵。

 使用有限元分析方法

 1、模型材料与几何参数

 下面给出具体尺寸以及材料参数：

 底板：碳钢材料，密度ρ=2850kg/m3，弹性模量E=210Gpa，泊松比v=0.28；底板几何参数，底板长度x宽度=1mx1m，厚度t1=0.05m，约束情况，底板四边固定铰支。

 球：橡胶材料，本构关系为Moony-Rivilin，基本参数C1=3.2MPa、C2=0.8MPa、C3=0。密度ρ=1500kg/m3，厚度t2=0.02m，内压P=0.4MPa；小球的几何参数，直径D=0.2m。

装配参数：小球放在底板正上方H=0.5m处

图3-1计算模型

 2、有限元模型的建立

 由于求是密闭容器，受到外载荷的作用后，内压随变形变化，虽然常内压无法模拟这种变化，但是由于研究变内压会使得计算更加复杂而且结果不容易收敛，因此这里采用常内压进行求解计算。这里采用ABAQUS进行建模分析。

 建模步骤：

 部件的创建（这一步也可以在一些CAD软件中实施）：

 创建部件，用三维可变形壳造底板和球，命名。

 ball：3D，Deformable，Shell，Revolution，1。轴右半圆，旋转360°。

 planar：3D，Deformable，Shell，Planer，1。-0.5，-0.5；0.5，-0.5；0.5，0.5；-0.5，0.5。

 3、材料属性

 创建材料：

 将材料命名，球的材料Material-ball：密度Density：ρ=1500kg/m3；

 依次操作Mechanical，Elasticity，Hyperelastic，StrainEnergypotential：Mooney-Rivlin；InputSource：

 Coefficients；C10=3.2MPa，C01=0.8MPa，D1=0。

 将材料命名，底板材料Material-planar：密度Density：ρ=2850kg/m3；

 依次操作Mechanical，Elasticity，Elastic：弹性模量E=210GPa，泊松比v=0.28。

 创建截面：

 球：命名为Section—ball。选中shell（壳），各项同性Honogeneous，单击Continue，在Basic中的Thickness中输入壳的厚度值Shellthickness：Value0.02，在Material中选中之前创建的材料Material-ball，单击OK确定。

 板块：命名为Section—planar。同上面选中shell（壳），各项同性Honogeneous，单击Continue，在Basic中的Thickness中输入壳的厚度值Shellthickness：Value0.05，在Material中选中之前创建的材料Material-planar，单击OK确定。

 将截面的性质附加到部件上：

 球：点击Assign（或者点击快捷按钮），Section，然后选中部件ball，Done，在弹出的窗口中的Section框中选中之前创建的截面Section—ball将截面信息注入部件ball；

 板块：点击Assign（或者点击快捷按钮），Section，然后选中部件planar，Done，在弹出的窗口中的Section框中选中之前创建的截面Section—planar将截面信息注入部件planar。

 4、装配

 创建计算实体

 以部件ball和planar为原形，用Dependent方式生成实体。

 装配

 用旋转、平移等方法把底板放置到球的正下方。

 创建分析步：

 （1）创建非线性动力学分析步，命名为Step-1，Dynamic，Explicit，几何非线性（Nlgeon）打开，Δt=0.315，0~0.315s（timeperiod0.315），Description：TheFallingStep，单击Ok确定；

 （2）创建非线性动力学分析步，命名为Step-2，Dynamic，Explicit，几何非线性（Nlgeon）打开，Δt=0.015，0.315~0.33s（timeperiod0.015），Description：TheCrashStep，单击Ok确定。

 接触：

 创建相互作用属性：

 命名IntProp-1，属性为接触Contact，性质：无（无摩擦有限滑动），单击Ok确定。

 创建接触对：

 创建轮轴接触对，命名int—1在初始步Step-1中，面-面接触Surface-to-surfacecontact(Explicit)，主动面选球外表面，被动面选底板上表面。

 5、施加载荷

 （1）施加位移边界条件：

 命名，只约束底板四边自由度ux、uy、uz。

 （2）创建载荷：

 a、创建时间历程：

 历程1：平滑历程，0s：0幅度；0.1s：1幅度；1.0s：1幅度；命名幅度-时间历程文件为Amp-1。顶部下拉菜单，Tools，Amplitude，Create，Amp-1，Smoothstep，0，0，0.1，1，1，1。

 历程2：突变历程，0s：1幅度；1.0s：1幅度；命名幅度-时间历程文件为Amp-2。顶部下拉菜单，Tools，Amplitude，Create，Amp-2，Smoothstep，0，1，1，1。

 6、施加重力

 顶部下拉菜单Load，命名Load—1，选择Step—1，Mechanical，重力载荷Gravity，Continue，Z方向，重力加速度Component3输入-9.8，Amplitude：Amp-1。

 7、施加内压

 顶部下拉菜单Load，命名Load—2，选择Step—1，Mechanical，球的内压载荷Pressure，Continue，作用于球的内壁，在Magnitude中输入0.4MPa，Amplitude：Amp-2。

 8、划分网格

进入Mesh模块，对部件Prat-1、Prat-2分别进行。

 （1）板网格控制

 对板进行分割：将中央接触区单分区，顶部菜单Tools，Partition，Face，Sketch，选中板右边界，进入草绘界面。用绘圆工具在坐标原点做一个半径为0.1m的圆，Done；

 撒种子：顶部菜单，Seed，Edges，按住Shift键选中底板的四个边界，Done，控制种子数为3，继续选中刚刚绘制的圆，控制种子数为7，OK确定；

 划分网格：选中部件Planar，Mesh，part，Yes。

 （2）球网格控制

 撒种子：顶部菜单，Seed，Edges，选中部件ball的母线，Done，控制种子数为3，OK确定；

 网格控制：顶部菜单，Mesh，Controls，Tri，Free，OK确定；

 划分网格：选中部件ball，Mesh，part，Yes。

9、建立项目

 进入Job模块，创建项目求解。

 项目：顶部菜单，Job，Create，命名Job—1，Continue，完全分析，OK确定。

 计算：进入项目管理器，顶部菜单，Job，Manager，提交Submit，打开Monitor查看器观看计算过程，知道计算结束。单击Results按钮进入后处理模块，查看结果。

 10、观察结果

 利用可视化后处理模块，观察小球在下落及碰撞整个过程的应力云图及动态画面。查看接触后各帧结果的应力、位移云图以及能量变化图，分析结果数据，得到问题的结论。

 11、结果与分析

 应力云图：由于帧数有点多，这里只显示Step2中的几帧。

图3-2：Frame13

图3-3：Frame20

 第二载荷步中小球模型中304号结点应力结果如下图所示：

图3-4

 从该结果中可看出小球在0.322502秒之前应力值是趋于稳定阶段，可能这个阶段变形趋于稳定，应力变化不大；而过了该阶段，也就是0.3222502（s）—0.324751（s）阶段，小球接触区该结点应力变化幅度较大，最大可达到2。 94507E+007Pa，可能在该阶段小球变形完全，也是自己弹性势能最大点。之后从0.324751秒之后直到结束，小球逐渐离开碰撞区，内力变化逐渐稳定，但由于弹性因素，还略有波动。

 平板中间接触区某结点（80号）在Step2时应力结果

 该课题所研究的是被撞底板在受到碰撞后板中的应力情况，这里只研究直接碰撞去某一结点的应力情况，研究该点最大值和应力变化情况。

曲线显示：

图3-5

 表格显示：

 由于图表只是显示该时间段的应力变化趋势情况，具体数值情况没有很好的给出。下面给出对应上图3-6的各个具体坐标值表格如下：

表3-1

 从表格数据和图形中可以看出，在0.32175秒之前板中应力状况保持不变，这段时间版中应力来源应该是版自身重力荷载所引起，如同剪支梁受局部载荷作用。在0.32175秒到最后分析结束，版中该结点应力变化成锯齿状，该过程中在0.32775秒是应力变化幅度有点大，但马上峰回路转。说明整个过程中，板中该结点应力变化是线性的，但有些模态时奇异的。另外从数据中看出该结点应力最大时刻发生在0.323251秒，Stress(MAX)=1.4688E+007。数值相当可观。

 模型在整个过程的应变能变化过程如下图所示：

图3-6

 从图中可看出，整个过程中应变能总体上是成递减状态，这也证实了碰撞能量的理论。

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