有限单元法的基本原理

 有限单元法（TheFiniteElementMethod）简称有限元（FEM），它是利用电子计算机进行的一种数值分析方法。它在工程技术领域中的应用十分广泛，几乎所有的弹塑性结构静力学和动力学问题都可用它求得满意的数值结果。

 有限元方法的基本思路是：化整为零，积零为整。即应用有限元法求解任意连续体时，应把连续的求解区域分割成有限个单元，并在每个单元上指定有限个结点，假设一个简单的函数（称插值函数）近似地表示其位移分布规律，再利用弹塑性理论中的变分原理或其他方法，建立单元结点的力和位移之间的力学特性关系，得到一组以结点位移为未知量的代数方程组，从而求解结点的位移分量。进而利用插值函数确定单元集合体上的场函数。由位移求出应变，由应变求出应力。

 ABAQUS有限元分析过程

 有限元分析过程可以分为以下几个阶段

 （1）建模阶段：建模阶段是根据结构实际形状和实际工况条件建立有限元分析的计算模型――有限元模型，从而为有限元数值计算提供必要的输入数据。有限元建模的中心任务是结构离散，即划分网格。但是还是要处理许多与之相关的工作：如结构形式处理、集合模型建立、单元特性定义、单元质量检查、编号顺序以及模型边界条件的定义等。

 （2）计算阶段：计算阶段的任务是完成有限元方法有关的数值计算。由于这一步运算量非常大，所以这部分工作由有限元分析软件控制并在计算机上自动完成

 （3）后处理阶段：它的任务是对计算输出的结果惊醒必要的处理，并按一定方式显示或打印出来，以便对结构性能的好坏或设计的合理性进行评估，并作为相应的改进或优化，这是惊醒结构有限元分析的目的所在。

 下列的功能模块在ABAQUS/CAE操作整个过程中常常见到，这个表简明地描述了建立模型过程中要调用的每个功能模块。

 “Part（部件）

 用户在Part模块里生成单个部件，可以直接在ABAQUS/CAE环境下用图形工具生成部件的几何形状，也可以从其它的图形软件输入部件。

 Property（特性）

 截面（Section）的定义包括了部件特性或部件区域类信息，如区域的相关材料定义和横截面形状信息。在Property模块中，用户生成截面和材料定义，并把它们赋于(Assign)部件。

 Assembly（装配件）

 所生成的部件存在于自己的坐标系里，独立于模型中的其它部件。用户可使用Assembly模块生成部件的副本（instance），并且在整体坐标里把各部件的副本相互定位，从而生成一个装配件。

 一个ABAQUS模型只包含一个装配件。

 Step（分析步骤）

 用户用Step模块生成和配置分析步骤与相应的输出需求。分析步骤的序列提供了方便的途径来体现模型中的变化（如载荷和边界条件的变化）。在各个步骤之间，输出需求可以改变。。

 Interaction（相互作用）

 在interaction模块里，用户可规定模型的各区域之间或模型的一个区域与环境之间的力学和热学的相互作用，如两个表面之间的接触关系。其它的相互作用包括诸如绑定约束，方程约束和刚体约束等约束。若不在Interaction模块里规定接触关系，ABAQUS/CAE不会自动识别部件副本之间或一个装配件的各区域之间的力学接触关系。只规定两个表面之间相互作用的类型，对于描述装配件中两个表面的边界物理接近度是不够的。相互作用还与分析步相关联，这意味着用户必须规定相互作用所在的分析步。。

 Load（载荷）

 在Load模块里指定载荷，边界条件和场。载荷与边界条件跟分析步相关，这意味着用户必须指定载荷和边界条件所在的分析步。有些场变量与分析步相关，而其它场变量仅仅作用于分析的开始。对于所有单元必须确定其材料特性，然而高质量的材料数据是很难得到的，尤其是对于一些复杂的材料模型。ABAQUS计算结果的有效性受材料数据的准确程度和范围的限制。

 Mesh（网格）

 Mesh模块包含了有限元网格的各种层次的自动生成和控制工具。从而用户可生成符合分析需要的网格，

 Job（作业）

 一旦完成了模型生成任务，用户便可用Job模块来实现分析计算。用户可用Job模块交互式地提交作业、进行分析并监控其分析过程，可同时提交多个模型进行分析并进行监控。

 Visualization（可视化）

 可视化模块提供了有限元模型的图形和分析结果的图形。它从输出数据中获得模型和结果信息，用户可通过Step模块修改输出需求，从而控制输出文件的存贮信息。

 Sketch（绘图）

 在ABAQUS/CAE中，先绘出二维的轮廓线有助于生成部件的形状。用Skcteh模块可直接生成平面部件，生成梁或一个子区域，也可以先生成二维轮廓线，然后用拉伸、扫掠、旋转的方式生成三维部件。

 在功能模块之间切换时，主菜单中内容会自动更换，各辅助菜单也随之改变。

 其中在各个模块中要注意的是：

 在进行有限元分析之前，首先应对结果的形状、尺寸、工况条件等进行仔细分析，只有正确掌握了分析结构的具体特征才能建立合理的几何模型。总的来说，要定义一个有限元分析问题时，应明确以下几点：

 a、结构类型；b、分析类型；c、分析内容；d、计算精度要求；e、模型规模；f、计算数据的大致规律

 建立有限元模型是整个有限分析过程的关键。首先，有限元模型为计算提供所以原始数据，这些输入数据的误差将直接决定计算结果的精度；其次，有限元模型的形式将对计算过程产生很大的影响，合理的模型既能保证计算结构的精度，又不致使计算量太大和对计算机存储容量的要求太高；再次，由于结构形状和工况条件的复杂性，要建立一个符合实际的有限元模型并非易事，它要考虑的综合因素很多，对分析人员提出了较高的要求；最后，建模所花费的时间在整个分析过程中占有相当大的比重，约占整个分析时间的70%，因此，把主要精力放在模型的建立上以及提高建模速度是缩短整个分析周期的关键。

 建立有限元模型的一般过程：

 1、分析问题定义

 在进行有限元分析之前，首先应对结果的形状、尺寸、工况条件等进行仔细分析，只有正确掌握了分析结构的具体特征才能建立合理的几何模型。总的来说，要定义一个有限元分析问题时，应明确以下几点：

 a、结构类型；b、分析类型；c、分析内容；d、计算精度要求；e、模型规模；f、计算数据的大致规律

 2、几何模型建立

 几何模型是从结构实际形状中抽象出来的，并不是完全照搬结构的实际形状，而是需要根据结构的具体特征对结构进行必要的简化、变化和处理，以适应有限元分析的特点。

 加载和边界条件：

 加载使结构变形和产生应力。大部分加载的形式包括：

 点载荷

 表面载荷

 体力，如重力

 热载荷

 边界条件是约束模型的某一部分保持固定不变（零位移）或移动规定量的位称（非零位移）。在静态分析中需要足够的边界条件以防止模型在任意方向上的刚体移动；否则，在计算过程中求解器将会发生问题而使模拟过程过早结束

 在对结构进行网格划分后称为离散模型，它还不是有限元模型，只有在网格模型上定义了所需要的各类边界条件后，网格模型才能成为完整的有限元模型。

划分网格时注意

 1、单元类型选择

 划分网格前首先要确定采用哪种类型的单元，包括单元的形状和阶次。单元类型选择应根据结构的类型、形状特征、应力和变形特点、精度要求和硬件条件等因素综合进行考虑

 2、网格数常用单元的选用原则：

 有限元网格划分中单元类型的选用对于分析精度有着重要的影响，工程中常把平面应变单元用于模拟厚结构，平面应力单元用于模拟薄结构，膜壳单元用于包含自由空间曲面的薄壁结构。对块体和四边形，可以选择全积分或缩减积分，对线性六面体和四边形单元，可以采用非协调模式。由于三角形单元的刚度比四变形单元略大，因此相对三节点三角形单元，优先选择四边形四节点单元。如果网格质量较高且不发生变形，可使用一阶假定应变四边形或六面体单元，六面体单元优先四面体单元和五面体锲形单元。十节点四面体单元与八节点六面体单元具有相同的精度。网格较粗的情况下使用二阶缩减积分四边形或四面体单元，对于橡胶类体积不可压缩材料使用Herrmann单元，避免体积自锁。在完全积分单元中，当二阶单元被用于处理不可压缩材料时，对体积自锁非常敏感，因此应避免模拟塑性材料，如果使用应选用Herrmann单元。一阶单元被定义为恒定体积应变时，不存在体积自锁。在缩减积分单元中，积分点少，不可压缩约束过度，约束现象减轻，二阶单元在应变大于20％～40％时应小心使用，一阶单元可用于大多数应用场合并具有自动沙漏控制功能。

 3、单元特性定义

 有限元单元中的每一个单元除了表现出一定的外部形状外，还应具备一组计算所需的内部特征参数，这些参数用来定义结构材料的性能、描述单元本身的物理特征和其他辅助几何特征等。

 4、网格划分

 网格划分是建立有限元模型的中心工作，模型的合理性很大程度上可以通过所划分的网格形式反映出来。目前广泛采用自动或半自动网格划分方法，如在Ansys中采用的SmartSize网格划分方法就是自动划分方法。有限元网格划分是进行有限元数值模拟分析至关重要的一步，它直接影响着后续数值计算分析结果的精确性。网格划分涉及单元的形状及其拓扑类型、单元类型、网格生成器的选择、网格的密度、单元的编号以及几何体素。从几何表达上讲，梁和杆是相同的，从物理和数值求解上讲则是有区别的。同理，平面应力和平面应变情况设计的单元求解方程也不相同。在有限元数值求解中，单元的等效节点力、刚度矩阵、质量矩阵等均用数值积分生成，连续体单元以及壳、板、梁单元的面内均采用高斯（Gauss）积分，而壳、板、梁单元的厚度方向采用辛普生（Simpson）积分。辛普生积分点的间隔是一定的，沿厚度分成奇数积分点。由于不同单元的刚度矩阵不同，采用数值积分的求解方式不同，因此实际应用中，一定要采用合理的单元来模拟求解。

 5、模型检查和处理

 一般来说，用自动或半自动网格划分方法划分出来的网格模型还不能立即应用于分析。由于结构和网格生成过程的复杂性，划分出来的网格或多或少存在一些问题，如网格形状较差，单元和节点编号顺序不合理等，这些都将影响有限元计算的计算精度和计算时间

 网格数量又称绝对网格密度，它通过网格尺寸来控制。在有限元分析中，网格数量的多少主要影响以下两个因素：

 6、计算精度

 网格数量增加，计算精度一般会随之提高。这是因为：

 （1）网格边界能够更好地逼近结构实际的曲线或曲面边界；

 （2）单元位移函数能够更好的逼近结构实际位移分布；

 （3）在应力梯度较大的部位，能够更好地反映应力值的变化。

 但是也需要提醒的是：网格数量太多时，计算的累积误差反而会降低计算精度。

 7、计算规模

 网格数量增加，将主要增加以下几个方面的时间：

 （1）单元形成时间

 （2）求解方程时间

 （3）网格划分时间

 8、网格疏密

 网格疏密是指结构不同部位采用不同大小的网格，又称相对网格密度，它通过在不同位置设置不同的网格尺寸来控制。在实际结构中应力场很少有均匀变化的，绝大多数结构或多或少的存在不同程度的应力集中。为了反映应力场的局部特性和准确计算最大应力值，应力集中区域就应采用较多的网格，而对于其他的非应力集中区域，为了减少网格数量，则采用较稀疏的网格。

 9、单元阶次

 结构单元都具有低阶和高阶形式，采用高阶单元的目的是为了提高计算精度，这主要考虑了以下两点：a、利用高阶单元的曲线或曲面边界更好地逼近结构的边界曲线或曲面；b、利用高阶单元的高次位移函数更好地逼近结构复杂的位移分布。但是高阶单元具有较多的节点，使用时也应权衡计算精度和模型规模两个因素，处理好单元阶次和节点数量的关系。

 10、网格质量

 网格质量是指网格几何形状的合理性。网格质量的好坏将影响计算结果的精度，质量太差的网格将中止有限元计算过程。值得注意的是，有些网格形状是不允许的，它们会导致单元刚度矩阵为零或负值，有限元计算将出现致命错误，这种网格称为畸形网格。

 11、单元分类

 a、分类方法：实体单元；壳单元；梁单元；弹簧单元；刚体单元；桁架单元；集中质量单元

 也可以分为：

 一维、二维和三维单元

 b、线形、二次和三次单元

 c、协调单元和非协调单元

 d、传弯单元和非传弯单元

 e、结构单元和非结构单元

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